Facu Hernández: Paradojas

Una paradoja (del lat. paradoxus, y este del griego παράδοξος) y significa "más allá de lo creíble"es una idea extraña, opuesta a lo que se considera verdadero o a la opinión general. En otras palabras, es una proposición en apariencia verdadera que conlleva a una contradicción lógica o a una situación que infringe el sentido común. En retórica, es una figura de pensamiento que consiste en emplear expresiones o frases que implican contradicción.

La paradoja es un poderoso estímulo para la reflexión. A menudo los filósofos se sirven de las paradojas para revelar la complejidad de la realidad. La paradoja también permite demostrar las limitaciones de las herramientas de la mente humana. Así, la identificación de paradojas basadas en conceptos que a simple vista parecen simples y razonables ha impulsado importantes avances en la ciencia, la filosofía y las matemáticas.

Paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común. Es lo inveosímil, lo absurdo, pero también lo extraño.

En la actualidad la palabra "paradoja" tiene numerosos significados:

1) Afirmación que parece falsa, aunque en realidad es verdadera.

2) Afirmación que parece verdadera, pero en realidad es falsa.

3) Cadena de razonamientos aparentemente impecables, que conducen sin embargo a contradicciones lógicas. (Las paradojas de esta clase suelen llamarse falacias.)

4) Declaración cuya veracidad o falsedad es indecible.

5) Verdad que se vuelve patas arriba para llamar la atención.

Las paradojas matemáticas, como las científicas, pueden ser mucho más que amenidades, y llevarnos hasta nociones muy profundas. A los primeros pensadores griegos les resultaba tan paradógico como insoportable que la diagonal de un cuadrado de lado unidad no pudiera ser medida exactamente por finas que se hicieran las graduaciones de la regla. Este hecho perturbador sirvió para abrir el vasto dominio de los números irracionales. Los matemáticos del siglo pasado encontraban enormemente paradógico que todos los miembros de un conjunto infinito puedan ponerse en correspondencia biunívoca con los miembros de algún subconjunto del dado, mientras por otra parte podían existir conjuntos infinitos entre los cuales es imposible establecer una correspondencia biunívoca. Tales paradojas condujeron a desarrollar la moderna teoría de conjuntos, que a su vez ha ejercido profunda influencia sobre la filosofía de la ciencia. Mucho podemos aprender de las paradojas. Al igual que los buenos trucos de ilusionismo, nos causan tanto asombro que inmediatamente queremos saber como se han hecho. Los ilusionistas no revelan jamás como hacen lo que hacen, pero los matemáticos no tienen necesidad de guardar el secreto.

Introducción

El término deriva de la forma latina paradoxum, que es un préstamo del griego como paradoxon 'inesperado, increíble, singular'etimológicamente formado por la preposición para-, que significa "junto a" o "a parte de" más la raíz doxon 'opinión, buen juicio'. La paradoja del mentiroso y otras paradojas similares ya se estudiaron en la Edad Media, eran conocidas como insolubilia. Esta paradoja es uno de los primeros casos de paradoja autoreferente. De hecho, entre los temas recurrentes en las paradojas se encuentra la auto-referencia directa e indirecta, la infinitud, definiciones circulares y confusión de niveles de razonamiento, aunque no todas las paradojas son de tipo autorreferente.

En filosofía moral una paradoja juega un rol particularmente importante en debates sobre ética. Por ejemplo, una admonición ética a "amar a tu vecino" no solamente se encuentra en contraste, sino también en contradicción, con un vecino armado que intenta asesinarte: de ser exitoso, entonces, uno no es capaz de amarlo. Sin embargo, atacar o reprimir al vecino agresor no es generalmente considerado amar. Esto puede ser llamado un dilema ético. Otro ejemplo es el conflicto entre el mandato de no robar y la responsabilidad personal de alimentar a la familia, la cual, bajo determinadas circunstancias, no puede ser mantenida sin dinero robado.

No todas las paradojas son iguales. Por ejemplo, la paradoja del cumpleaños puede ser definida mejor como una sorpresa que como una contradicción lógica, mientras que la resolución de la paradoja de Curry es aún un tema importante de debate.

Tipos de paradojas

No todas las paradojas encajan con exactitud en una única categoría. Algunos ejemplos de paradojas son:

Según su veracidad y las condiciones que las forman

Algunas paradojas sólo parecen serlo, ya que lo que afirman es realmente cierto o falso, otras se contradicen a sí mismas, por lo que se consideran verdaderas paradojas, mientras que otras dependen de su interpretación para ser o no paradójica, como:

Paradojas verídicas

Son resultados que aparentan tal vez ser absurdos a pesar de ser demostrable su veracidad. A esta categoría pertenecen la mayor parte de las paradojas matemáticas.

Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son cuadrados perfectos, no hay más números que cuadrados perfectos.
Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.
Paradoja de la banda esférica: No es una paradoja en sentido estricto, pero choca con nuestro sentido común debido a que tiene una solución que parece imposible.

Antinomias

Son paradojas que alcanzan un resultado que se autocontradice, aplicando correctamente modos aceptados de razonamiento. Muestran fallos en un modo de razón, axioma o definición previamente aceptados. Por ejemplo, la Paradoja de Grelling-Nelson señala problemas genuinos en nuestro modo de entender las ideas de verdad y descripción. Muchos de ellos son casos específicos, o adaptaciones, de laParadoja de Russell.

Paradoja de Russell: ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos?
Paradoja de Curry: "Si no me equivoco, el mundo se acabará en diez días".
Paradoja del mentiroso: "Esta oración es falsa".
Paradoja de Grelling-Nelson: ¿Es la palabra "heterológico", que significa "que no describe a sí mismo", heterológica?
Paradoja de Berry: "El menor entero positivo que no se puede definir con menos de quince palabras".
Paradoja de la suerte: Es de mala suerte ser supersticioso.
Paradoja de los números interesantes: Todo número entero presenta alguna propiedad interesante específica, y por tanto el conjunto de los números no-interesantes es vacío.

Antinomias de definición

Estas paradojas se basan en definiciones ambiguas, sin las cuales no alcanzan una contradicción. Este tipo de paradojas constituye un recurso literario, en cuyo empleo se ha destacado el escritor inglés G. K. Chesterton, a quién se llamó el "príncipe de las paradojas". Sirviéndose de los múltiples sentidos de las palabras, buscaba marcar contrastes que llamaran la atención sobre alguna cuestión comúnmente poco considerada. Estas paradojas, como en su libro "Las paradojas de Mr. Pond" (1936), se resuelven en el transcurso de los relatos al clarificar un sentido o añadir alguna información clave.

Paradoja sorites: ¿En qué momento un montón deja de serlo cuando se quitan granos de arena?
Paradoja de Teseo: Cuando se han reemplazado todas las partes de un barco, ¿sigue siendo el mismo barco?
Paradoja de Boixnet: Pienso, luego existo, mas cuando no pienso, ¿no existo?
Ejemplos de Paradoja en Chesterton: "Era un extranjero muy deseable, y a pesar de eso no lo deportaron". "Una vez conocí a dos hombres que estaban tan completamente de acuerdo que, lógicamente, uno mató al otro".

Paradojas condicionales

Sólo son paradójicas si se hacen ciertas suposiciones. Algunas de ellas muestran que esas suposiciones son falsas o incompletas.

Paradoja de Newcomb: Cómo jugar contra un oponente omnisciente.
Paradoja de San Petersburgo: La gente solo arriesgará una pequeña cantidad para obtener una recompensa de valor infinito.
Paradoja del viaje en el tiempo: ¿Qué pasaría si viajas en el tiempo y matas a tu abuelo antes de que conozca a tu abuela?
Paradoja de la serpiente: Si una serpiente se empieza a comer su cola, acaba comiéndose absolutamente todo su cuerpo, ¿dónde estaría la serpiente, si está dentro de su estómago que, a su vez, está dentro de ella?

Según el área del conocimiento al que pertenecen

Todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, que antiguamente se consideraba parte de la filosofía, pero que ahora se ha formalizado y se ha incluido como una parte importante de la matemática. A pesar de ello, muchas paradojas han ayudado a entender y a avanzar en algunas áreas concretas del conocimiento.

Paradojas en Matemática / Lógica

Paradojas sobre la probabilidad y la estadística

Paradoja del cumpleaños: ¿Cuál es la probabilidad de que dos personas en una reunión cumplan años el mismo día?
Paradoja de Simpson: Al agregar datos, podemos encontrar relaciones engañosas.
Paradoja de Arrow: No puedes tener todas las ventajas de un sistema de votación ideal al mismo tiempo.
Problema de Monty Hall: Y tras la puerta número dos... (¿Por qué la probabilidad no es intuitiva?)
Paradoja de San Petersburgo: Cómo no merece la pena arriesgar mucho para ganar un premio infinito.
Fenómeno Will Rogers: Sobre el concepto matemático de la media, trata sobre la media o mediana de dos conjuntos cuando uno de sus valores es intercambiado entre ellos, dando lugar a un resultado aparentemente paradójico.
Paradoja de los dos sobres: Uno de los sobres contiene el doble de dinero que el otro. Sin importar cuál de los dos sobres esté en mi poder, las probabilidades siempre indican que es favorable cambiarlo por el sobre restante.

Paradojas sobre lógica

A pesar de que todas las paradojas se consideran relacionadas con la lógica, hay algunas que afectan directamente a su bases y postulados tradicionales.

Las paradojas más importantes relacionadas directamente con el área de la lógica son las antinomias, como la paradoja de Russell, que muestran la inconsistencia de las matemáticas tradicionales. A pesar de ello, existen paradojas que no se autocontradicen y que han ayudado a avanzar en conceptos como demostración y verdad.

Paradoja del actual rey de Francia: ¿Es cierta una afirmación sobre algo que no existe?
Paradoja del cuervo (o cuervos de Hempel): Una manzana roja incrementa la probabilidad de que todos los cuervos sean negros.
Regresión infinita del presupuesto: "Todo nombre que designa un objeto puede convertirse a su vez en objeto de un nuevo nombre que designe su sentido".

Paradojas sobre el infinito

El concepto matemático de infinito, al ser contrario a la intuición, ha generado muchas paradojas desde que fue formulado.

Paradoja de Galileo: A pesar de que no todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados.
Paradoja del hotel infinito: Un hotel de infinitas habitaciones puede aceptar más huéspedes, incluso si está lleno.
Conjunto de Cantor: Cómo quitar elementos de un conjunto y que siga teniendo el mismo tamaño.
Cuerno de Gabriel (o Trompeta de Torricelli): ¿Cómo puede ser necesaria una superficie infinita para contener un volumen finito?
Paradojas de Zenón. Mediante el concepto de división al infinito, Zenón trató de demostrar que el movimiento no puede existir, confirmando así la filosofía de su maestro, Parménides. Las más conocidas son la «dicotomía» y la paradoja de «Aquiles y la tortuga».

Paradojas en Física

Nota: Richard Feynman en sus libros Lectures on Physics, aclara que en la Física realmente no existen las paradojas, sino que en las paradojas físicas hay siempre una mala interpretación de alguno o ambos razonamientos que componen la paradoja. Esto no es necesariamente válido en otras disciplinas donde las paradojas reales pueden existir.

Paradoja de Bell: Plantea un problema clásico de relatividad especial.
Paradoja de Olbers: ¿Por qué, si hay infinitas estrellas, el cielo es negro? Olberts calculó que la luminosidad del cielo correspondería a una temperatura del orden de los 5.500 °C, que, de hecho, no se observa. Actualmente se sabe que la luminosidad calculada por Olberts no llega a ser tal por el importante corrimiento al rojo de las fuentes de luz más alejadas, hecho que la teoría más aceptada atribuye al alejamiento de las galaxias o expansión del universo. Además se oponen la edad finita del universo, sus cambios notables durante su historia y que la cantidad de galaxias no es infinita. La paradoja proviene de un tiempo en el que no se conocían las galaxias y tendía a creerse que el universo era infinito y estático, por lo que también era plausible que hubiera infinitas estrellas.
Paradoja de Maxwell o Demonio de Maxwell: Una aparente paradoja clásica de la termodinámica.
Paradoja de los gemelos: Cuando uno de los hermanos regresa de un viaje a velocidades cercanas a las de la luz descubre que es mucho más joven que su hermano.
Paradoja de Einstein-Podolsky-Rosen: Una paradoja sobre la naturaleza de la mecánica cuántica propuesta por estos tres físicos.
Paradoja de Fermi: Si el Universo estuviera poblado por civilizaciones avanzadas tecnológicamente, ¿dónde están?
El experimento de Young. Una paradoja cuántica en su versión electrón a electrón. En el experimento de Young se pueden hacer pasar electrones por una doble rendija uno a uno de manera corpuscular, como si fueran partículas, obteniéndose sin embargo una figura deinterferencias.
Paradoja de Schrödinger: La paradoja por excelencia de la mecánica cuántica.
Paradoja de D'Alembert: Relacionada con la resistencia de los cuerpos ante fluidos viscosos y no viscosos, en Mecánica de Fluidos.
Paradoja del lingote de plata: Es imposible la duplicación exacta de la materia y todos sus estados cuánticos, por tanto son imposibles los viajes en el tiempo.

Paradojas en Economía

Paradoja de Abilene: Un grupo de personas frecuentemente toman decisiones contra sus propios intereses.
Paradoja del ahorro: Si todo el mundo trata de ahorrar durante una recesión, la demanda agregada caerá y los ahorros totales de la población serán más bajos.
Paradoja de Allais: En cierto tipo de apuestas, aun cuando la gente prefiere la certeza a la incertidumbre, si se plantea de manera diferente el problema, preferirán la incertidumbre que antes rechazaban.
Paradoja de Bertrand: Dos jugadores que alcanzan el mismo equilibrio de Nash se encuentran cada uno sin ningún beneficio.
Paradoja del pájaro en el arbusto: ¿Por qué las personas evitan el riesgo?
Paradoja del valor (o paradoja del diamante y el agua): ¿Por qué es más barata el agua que los diamantes, siendo que los humanos necesitan agua, y no diamantes, para sobrevivir?
Paradoja de Edgeworth: Con restricciones de capacidad, no puede haber ningún equilibrio.
Paradoja de Ellsberg: En cierto tipo de apuestas, aun cuando sean lógicamente equivalentes las personas apostar por algo que contra algo, es decir, obtienen mayor utilidad apostando a favor.
Paradoja de Gibson: ¿Por qué están los tipos de interés y los precios positivamente correlacionados?
Paradoja de Giffen: ¿Puede ser que los pobres coman más pan aunque suba su precio?
Paradoja de Jevons: Un incremento en la eficiencia conlleva un mayor incremento en la demanda.
Paradoja de Leontief: Algunos países exportan bienes intensivos en trabajo e importan bienes intensivos en capital, en contradicción con la teoría de Heckscher-Ohlin.
Paradoja de Parrondo: Es posible jugar en dos juegos que ocasionan pérdidas alternativamente para acabar ganando.
Paradoja de San Petersburgo: Cómo no merece la pena arriesgar mucho para ganar un premio infinito
Paradoja del votante: Cuantas más personas participen en una elección por votación, menor será el beneficio de ir a votar, al ser cada votante menos decisivo.

Otras paradojas

Paradoja de la fuerza irresistible: Sabiendo que un cuerpo inamovible es un cuerpo al que ninguna fuerza, por fuerte que sea, es capaz de mover, y teniendo en cuenta que una fuerza irresistible es una fuerza a la que ningún cuerpo puede resistirse: ¿Qué sucede cuando un cuerpo inamovible se encuentra con una fuerza irresistible?. Esta paradoja fue propuesta por Isaac Asimov en su libro "100 preguntas básicas sobre la ciencia". La respuesta que el propio Asimov daba era que estos dos fenómenos no pueden darse a la vez en un mismo universo, a pesar de que él mismo cuestionaba la validez de su hipótesis, ya que este hecho no era demostrable, puesto que no se conoce ninguna fuerza irresistible o cuerpo inamovible, y por tanto no han podido observarse los efectos de estos hipotéticos fenómenos.
Paradoja del abogado: Un profesor hace un trato con su alumno de derecho: - Si usted gana su primer juicio, me paga las lecciones. Si lo pierde, no me debe nada. Resulta que el nuevo abogado no participó en ningún juicio con tal de no arriesgarse a pagar. Hasta que un día fue demandado por su profesor. En su juicio, él se defendió a sí mismo. Si el nuevo abogado ganara el juicio, por ley no debería pagar a su tutor, pero por contrato debería hacerlo. Si perdiera el juicio, le tocaría pagar por orden del juez, pero por contrato no debería hacerlo.
Paradoja de la omnipotencia: ¿Un dios omnipotente sería capaz de crear una roca tan grande que ni él mismo pudiera cargarla?. Si puede crear la roca limitaría su poder, y ya no podría ser capaz de realizar cualquier cosa (levantar la roca), si no la puede crear entonces no sería capaz de crear la roca.

Las paradojas y la abstracción

Es imprescindible un correcto uso de las capacidades de abstracción de la mente para lograr una adecuada comprensión de las paradojas antes mencionadas. Como tales, su objetivo no es lograr que el individuo aporte ideas imaginativas y fabulosas para su resolución. Dentro del ámbito general de las personas, sin pretensiones científicas o filosóficas, una adecuada interpretación de las paradojas y sus explicaciones contribuye al desarrollo del análisis, el procesamiento de información abstracta y ocasionalmente el aumento del coeficiente intelectual.

Paradojas

Paradójico es tanto aquello que encierra contradicción como lo que va en contra de la opinión común. Es lo inveosímil, lo absurdo, pero también lo extraño.

Entre estas paradojas encontraras algunas "demostraciones falsas". El objetivo de este tipo de "demostraciones" es doble: por un lado, como es obvio, sorprender. Por otro, llamar la atención sobre la necesidad de conocer las propiedades de las operaciones de cada tipo de número y no dejarse llevar por las falsas analogías que a veces sugiere la notación.

Paradojas autorreferenciales

· Clases de personas.

· Paradoja de los alcaldes.

· Paradoja del barbero.

· Paradoja de los catálogos.

· Paradoja de Grelling.

· Paradoja de Russell.

Paradojas de numerabilidad

· Paradoja de Galileo.

· Las fichas y el florero.

· Hotel de Hilbert.

· Paradoja de Tristram Shandy.